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数学奥林匹克初中训练题(166)

作者:今天股市行情
来源:https://www.hnkaiping.cn/hnka
【更新日期】2021-10-16 19:29:08
摘要:- 2021年5月4日发(作者:宜昌交运:关于公司监事辞职的公告宜昌交运(002627)) 中等数学 数蟹 中图分类号:G424.79 藏渤 删稼毽(166) 文献标识码:A 文章编号:1005—

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2021年5月4日发(作者:宜昌交运:关于监事辞职的公告宜昌交运(002627))


中等数学 
数蟹 
中图分类号:G424.79 
藏渤 删稼毽(166) 
文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2013)07—0040—04 
第一试 


选择题(每小题7分,共42分) 
1.已知 = 1一 

则 = 
√口 
( ). 
(A)口一—1
(B) 一口 
(C)口+一1 (D)不能确定 
2.已知0 +b =1,b +c :c +口 =2. 
则口6+6c+Ⅱc的最小值为( ). 
(A) 一 1 (B) 
一 
(c)一 1

一 
+ 
3.已知点D在△ABC的边A 上, A 

40。, B=50。, BCD=30。,BC=a,AC 

b.则CD=( ). 
(A)譬 (B) 1 v口2 
(c)÷(n+6) (D)÷(2。+6) 
4.关于 的不等式组 
r 一 一2>0, 
J 
【2 +(2 +5) +5后<0 
有唯一整数解一2.则实数k的范围为( ). 
(B)(2, 5) 
(D)『
L 
一3,了5

 1
J 
 
5.如图1,六边形ABCDEF由五个单位 
正方形组成.称能平分此六边形的面积的直 
线为“好线”.则共存在 
D 
好线( )条. A 
(A)1 (B)2 B 
C 
(C)3 (D)无数 图1 
6.某学校九年级两个毕业班的学生和教 
师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄 
影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排 
数大于或等于3),且要求各行的人数必须是 
连续的正整数,这样才能使后一排的人均站在 
前一排两人间的空挡处.则上述要求的排 
法的方案有( )种. 
(A)1 (B)2 (C)4 (D)0 
二、填空题(每小题7分,共28分) 
1.能使2 +256是完全平方数的正整数 
n:
———
__ 
2.如图2,在△ABC中,已知BC=口,CA 

6,AB=c,重心G关于BC的对称点为G . 
若A、B、G 、C四点共圆,则口、b、c之间的关 
系式是 . 
C 
A 
图2 图3 
3.如图3,在梯形A cD中,DCffAB, DC 
=了1

MN为中位线,EFffAB且通过Ac与 
BD的交点,点E、F分别在AD、BC上.则梯 


2013年第7期 
形EFCD、梯形MNFE、梯形ABNM面积的连 
比等于—. 
4.已知关于 的方程 
(a一1) +2x一口一1=0 
的根均为整数.则符合条件的整数a有 
个. 
第二试 


(2O分)已知三个不同的实数a、b、c 
口一b+c=3,方程 
2+ +1=0和 2+6 +c=0 
有一个相同的实根,方程 
2+ +口=0和 2+c +b=0 
也有一个相同的实根.求口、b、c的值. 
二、(25分)如图4,已知点P在L=YABCD 
的内部,且 PAB= PCB.设01、02、 
D,、D 分别是 
△ 、△PBC、 
D 
△PCD、△PDA的 
外心.证明:四边形 
0l020304的面积 
O2 
等于E:TABCD面积 
的一半. 
图4 
三、(25分)设二次函数 
)=似 + +c 
下列条件: 
(i)当 为实数时,其最小值为O,且 

1)= 一 一1) 
成立; 
(ii)当0< <5时, 
≤ )≤2 l 一1 I+1 
恒成立. 
(1)求 )的解析式; 
(2)求最大实数m(m>1),使得存在实 
数t,只要1≤ ≤m,就有 +t)≤ 成立. 
参 
第一试 


1.B. 
由 :_=1=
一 : +口一2 
4a a 
4l 
= +2=—1

+口. 
口 
则 = 
: : 

--
= 

a 
I. 
又_1==
一 
≥0 ≥口. 
4a “ 
a v ̄x+x2一:一1一口
. 
2.B. 
由口2+b2=1,b2+c2=2,口 +c =2 
c口 c,=(±譬,±譬,± ). 
贝0 ab+bc+c口 
≥ ×
譬+譬×(一 )+(一-:26)× 2至 
: 一 . 
显然, ACB=90a. 
A 
如图5,设AB中 
点为 ,联结CM. 
由MA=MC。 
A=40。. 
知 CMD 
C 
=2×40。=80。. 
图5 
又 CDM 
= B+ BCD=50。+30。:80o. 
则 CMD= CDM 
CD= = = 册. 
4.A. 
由 2一 一2>0= >2或 <一1. 
又2 +(2 +5) +5k<0 
j( +Jj})(2 +5)<0. ① 
由一2不等式①,知k一2<0,即 


42 中等数学 
k<2,且一k>一2>一号. 
于是,一÷< <一k. 
则一2≤一k≤3. 
故一3≤ <2. 
5.D. 
如图6,作两条中线BE、CF.联结BG 、 
CG . 
② 
又一2是不等式②的唯一整数解, 
G 
设CD中点为日,矩形ABCH、矩形EFHD 
的中心分别为0。、0:.则0 0:为一条好线, 
且过线段0 0 的中点 的直线(与线段DE 
有交点)均为好线. 
6.B. 
设最后一排有k个人,共有rg排则从后往 
前各排的人数分别为k,k+1,…,k+(rt一1). 
由题意知 
kn+ :100, 
丑Ⅱn[2k+(n一1)]=200. 
因为k、n均为正整数,且nI>3,所以, 
n<2k+(rt一1), 
且rg与2 +(n一1)的奇偶性不同. 
将200分解素因数,知n=5或8. 
当rt=5时,k=18; 
当n=8时,k=9. 
因此,共有两种不同方案. 
二、1.11. 
当n<8时,2 +256=2”(1+2 一 ). 
若它为完全平方数,则rt必为偶数.但 
1+2 “均不为完全平方数. 
当n>8时,2 +256=2 (2 一 +1). 
若它为完全平方数,则2一。+1为一奇 
数的平方. 
设2一 +1=(2k+1) (k为正整数).则 
2 |m:k(k+1). 
由于k和k+1一奇一偶,故k=1. 
进而,rt=11. 
2.6 +C2:2n 
. 
图6 
由A、 、G 、C四点共圆 
A、F、G、E四点共圆 
j BG?BE:BF?BA 
雎 = 
j ( 2+c2一 6 )=争 
j 6 +c2=20 
. 
3.5:7:20. 
易证,梯形EFCD∽梯形ABNM, 
梯形MNCD∽梯形ABFE. 
设DC=1.则 
AB=3,MN=-C (1+3)=2. 
设梯形EFCD的面积为1. 
则梯形ABNM的面积为4. 
再设梯形MNEF面积为 . 
注意到, = . 
于是,}芝=( ) = X-- 7. 
故三 面积的比为1:÷:4=5:7: 
4.5. 
当a=l时, =1. 
当a≠1时,易知, :1是方程的一个整 
数根. 
再由1+ = 且 是整数,知 
1一a=4-1.-.I-2. 
所以,a=一1,0,2,3. 
综上,符合条件的整数a有5个. 

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首发:2021-05-04 00:03

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