金融工程讲义第二讲货币的时间价值3

临时空缺-晨阳集团

2021年4月9日发(作者:东阳光()东阳光)
第二讲 货币的时间价值
一.关键词:
下列词汇的中文解释主要引用自《英汉现代财会大辞典(修订版)》今池编著,中国财
政经济,2006年6月第2版
?
time-value of money货币的时间价值
又译为资金的时间价值。

简称为TVM。

指资金经历一定时期的储蓄存款或投资所产生的
利息或收益,可增加其价值。

反之,如果资金闲置一定时期,由于失去存款或投资机会,
则会减少其价值。

折现现值(discounted present value)的计算,即反映了一项投资
机会成本的丧失。


资金的时间价值概念在现代财务管理的实务中,已得到广泛的应用,这是因为大部分财
务管理决策都必须考虑资金的时间价值,企业现金流量的时间安排是否合理,与财务目
标能否顺利实现密切相关。

因而必须正确理解资金的时间价值概念,才能做好财务管理
工作。


?
present value现在价值
又称现值,或称折现值(discounted value)。

缩写为PV。

现值概念与资金的时间价值
(time value of money)概念两者是密切相关的。

所谓资金的时间价值,是指现时收
入一元钱,比在未来任何时间的一元钱更为值钱。

因而有以下两个不同的货币时间价值:
未来值和现值。

现值是指将未来的现金价值,折算为现在的现金价值。

折算为现值的过
程称为现值计算或折现(discounting)。

例如,假设市场利率为10%,现在的1000美
元,明年将成为1100美元。

反过来,明年的1100美元的现值即为1000美元。


?
future value将来价值
又称未来值,终值(terminal value),复利终值(compound value)。

缩写为FV。


值和现值相反,终值是在已知投资金额即现值(present value)、利率和时期的情况下,
计算一项投资的复利终值。


?
discount rate ①贴现率 ②折现率
①贴现率 指商业银行和贴现公司贴现票据所使用的利率,其高低决定于兑现日期的长
短和风险的大小。


②折现率 或指将未来收益改变为现值所使用的市场利率或资本成本率(cost of
capital)。


?
cash flow ①现金流 ②现金流量
①现金流(cash flow):指投资者预期从某项特定资产上所能获得的一系列现金。


②现金流量(cash flow):指表明一个企业或者一项投资在一定时期现金流入和流出,用
以表明企业获得现金和现金等价物的能力的一种会计报表。

又称之为cash flow table。


?
simple interest单利
仅根据贷款的本金计算利息。

即在资金借贷期间,每个会计期的利息均按本金计算,未
付利息不再计息。

在贷款期限较短的情况下,通常使用单利计算。


单利的利息金额是以下三个变量的函数:(1)借贷的原始金额或本金;(2)利率;(3)
本金借贷期限的长短。



PV
表示本金,
n
表示计息期数,
i
表示利率,
FV
表示第
n
期期末的本利和,单利
的计算公式为:
单利?PV?n?i

采用单利方法计算的资金的将来价值(到期日的本利和)公式为:
FV?PV(1?ni)

式中,
?
compound interest复利
根据本金加以前未支付的利息所计算的利息。

即将到期利息转入本金。


PV
表示本金,
n
表示计息期数,
i
表示利率,
FV
表示第
n
期期末的本利和,复利的计算公式如下:
复利?PV[(1?i)
n
?1]


采用复利方法计算的资金的将来价值(到期日的本利和)公式为:
FV?PV(1?i)

符号含义同上。


?
gilt-edged securities 金边债券
①在英国指由财政部发行的可在证券交易所自由买卖的政府债券(但不包括国库券)。


由于这种债券的券面带有金黄边,并被认为信誉最高,风险最小,因此被称为金边债券。


②在美国,泛指任何信誉良好,风险很低的高质量债券,如国库票据(treasury notes),
国库债券(treasury bond)以及AAA级公司债券等。


?
riskless rate of return 无风险投资收益率
指政府证券组合投资的收益率。

由于不存在风险,其收益率低于证券市场的投资收益率。


任何企业投资项目的期望收益率,均必须高于无风险投资收益率,才是可行的。


?
discounted cash flow method现金流折现法
又称折现现金流量法、折现值法(discounted value method)。

简称为DCF method。


是评价投资决策和计算投资收益率的一种方法。

任何一个投资项目均须计算在其使用年
限中预期产生的收益,并按市场利率或资本成本率折算为现值,然后与投资项目的期初
投资进行比较。

如果已折合为现值的现金流大于期初投资,则说明这项投资是合算的。


常见的DCF法有:
①净现值法(net present value method),简称为NPV method。


②部收益率法(internal rate of return method),简称为IRR method。



二.复利计算方法(compounding)
1. 复利计算方法与单利计算方法的比较


2. 将来价值的一般公式


3. 现在价值的一般公式


复利计算方法是把现在价值(present value)换算成将来价值(future value)的方法。


例题
:假定你现在做一笔1000元的投资,每年获得10%的投资回报。

如果你期间不撤
回投资,也不分配盈利。

5年以后你所持有的这一笔资产将会是多少元?
n
解题

FV?1000?(1?10%)
5
?1610.51


:5年以后这笔投资价值1610.51元。



练习题:
1万元的定期存款,如果年存款利息为1%的话,按单利计息可以获得多少利息? 按
复利计息又可以获得多少利息?

将来价值的一般公式:
FV?PV(1?i)

在这里,
FV
代表将来价值,
PV
代表现在价值,
i
代表折现率,
n
代表投资期间的年
数。


在这里又可以把
(1?i)
称作将来价值系数(future-value factor)。


n
n
练习题:
某企业家在2000年年初投资100万元于一家大学生创业公司。

这笔投资所获得的
协议回报率为每年20% 。

该企业家又将每年所获得的回报继续投资于该创业公司,直到2005
年年初。

问此时该企业家投资于这家大学生创业公司的总资产价值应该是多少万元?

例题
:假定我1年以后需要1000元,而现在我可以实现的投资回报是年率10%。

我现在需
要投资多少元?
解题:
?PV?(1?10%)
1
?1000
(元)

?PV?
1000
?909.09
(元)
1.1
答:
现在需要投资909.09元。


例题:
假定我5年以后需要1000元,其它条件不变。

我现在需要投资多少元?
解题:
?PV?(1?0.1)
5
?1000
(元)


?PV?

??620.9213
(元)
5
1.
(1?0.1)
答:
我现在需要投资620.92元。



由将来价值的公式我们可以得出现在价值的一般公式:
现在价值的一般公式:
PV?
FV

n
(1?i)
这里的符号含义与将来价值的计算公式相同。



练习题:
3年后的1万元,在利率为5%的情况下,现在值多少钱?

三.项目分析(project analysis)
我们把针对一个或几个投资项目所可能产生或已经产生的投资收益和风险度所进行的
分析叫做项目分析。


例题
:某投资经理人有A,B两个投资计划可供选择。

A,B两个投资计划在未来4年中
所产生的收益如下表所示。

问在贴现率为10%的情况下,该投资经理人会选择哪个项目?在
贴现率为5%的情况下又会选择哪个项目?
投资回报现金流
单位:万元人民币
时间
第1年
第2年
A项目的现金流量
500
600
B项目的现金流量
1050
600
第3年
第4年
合计
700
800
2600
500
400
2550

项目分析的方法是把投资项目在各期产生的现金流折算成现在价值,然后加总,进行对
比。


各期的现金流分别进行折现的公式为:
PV
t
?
CF
t

(1?r)
t
将各期的现金流的现在价值进行加总的公式为:
PV?
?
t?1
n
CF
t

t
(1?r)

四.现在价值对利率的敏感性
当利率发生变化时,现金流的现在价值也随之发生变化。

而且利率与现在价值呈现出一
种负相关关系,亦即当利率由大变小时,现在价值由小变大;当利率由小变大时,现在价值
由大变小。



五.净现在价值(net present value, NPV)法
在项目分析时,可以把投资项目在将来各个期间所产生的现金流的现在价值的总和减去
初始投资额(original investment),就得到该投资项目的净现在价值。


NPV?PV?OI

即:
NPV?
CF
n
?OI

?
t
t?1
(1?r)
n
或:
NPV?
CF
t

?
t
(1?r)
t?0
n
进一步地,可以计算出项目的预期收益率(expected return)。


ER?
NPV
?100%

OI
在进行项目分析时,如果需要比较分析多个初始投资额不相同的投资项目时,可以依据
预期收益率指标判定各个投资项目的优劣。



练习题:
投资人甲以50万元的投资获得某股份1万股的股权。

投资后的第1年将分得
3万元的红利,第二年将分得5万元的红利,第3年将分得6万元的红利,第4年将分得8
万元的红利并协议由该股份以每股56元的价格赎回全部1万股的股权。

如果贴现率为5%的
话,问整个投资项目的预期投资收益率为多少?

六.年金(annuity)的现在价值
年金满足如下的条件:
(1) 现金流等量,等间隔分布在各个时点上;
(2) 贴现率(或利率)均相同。


则年金的现在价值为:
1?
PV?CF
1
1?(1?r)
?n
(1?r)
n
?CF

rr
例题:
某企业为特定的大学入学新生提供的一项助学计划规定,每年为每个符合条件的
学生提供6000元的资助款,为期4年。

问在贴现率为5%的情况下这项助学计划的现在价值
为多少?
1?(1?5%)
?4
??

题解:
PV?6000?
5%
练习题:
某上市公司宣布今后5年该公司的股票每股增加10元的红利分配。

在市场基
准利率为3%的情况下,这项消息公布应该会给股票带来多少的升值?
1?(1?3%)
?5
??

题解:
PV?10?
3%

七.收益同比增长模型
收益同比增长模型满足如下条件:
(1) 每一期的收益都比上一期增长
g

(2) 增长率
g
要小于利率
r

(3) 可以无限期地获得收益。


这时投资的现在价值为:
PV?
CF
1

r?g
例题:
某上市公司的股票现在每股分红0.1元,且每股的分红将以每年增加1%的速度
递增下去,如果市场的基准利率也保持5%不发生变化的话,问此时该股票的价格为多少?
题解:
PV?

0.1
?2.5
(元)
5%?1%
特别地,当
g?0
时,则:
PV?
CF

r
例题:
如果某项地产将一直给其所有者带来每年5000元的收益,而市场的基准利率也
保持5%不发生变化的话。

问这项地产的价格应该为多少?
题解:
PV?
CF5000
??100,000
(元)

r5%

八.部收益率(internal rate of return, IRR)
部收益率也是进行项目分析的一种方法,也叫IRR法。

是用现值法对某个投资项目的财
务和经济效益进行评估时所使用的一个重要指标。

具体指当投资项目在其寿命期的收入现值
总额,等于其支出现值总额,即净现值为零时的收益率。


部收益率反映项目在整个寿命期的平均盈利能力,即动态投资收益率。


IRR的计算方法为:
n
CF
t
CF
t
?0NPV??CF
0
?0
,求出IRR即可。


NPV?
?
,或
?
tt
(1?IRR)(1?IRR)
t?0t?1
n
当各期的
CF
都相等时,适用年金的计算公式,即:
1?(1?IRR)
?n
?CF
0
?0
,求IRR。


NPV?CF
IRR
例题:
投资人甲以50万元的投资获得某股份1万股的股权。

投资后的第1年将分得3
万元的红利,第二年将分得5万元的红利,第3年将分得6万元的红利,第4年将分得8
万元的红利并协议由该股份以每股56元的价格赎回全部1万股的股权。

问该项投资的部收
益率为多少?

九.税收对收益率的影响
在项目分析时必须注意到影响投资者判断的实际上是税后收益率,因此在进行项目评价
时在计算收益率或IRR时,必须考虑到税收的影响。

由于各国的税制千差万别,且一国的税
制也处于变化之中,因此,一般在金融工程学的教科书中不过多涉及税制的问题。



十.实际收益率和名义收益率
设实际年利率(effective annual rate)为
ER
,名义利率(normal rate)为
NR
,年复
式计息的次数为
m
,则实际利率与名义利率的关系可以用下面的公式表示。


ER?(1?
NR
m
)?1

m
第二讲 货币的时间价值
一.关键词:
下列词汇的中文解释主要引用自《英汉现代财会大辞典(修订版)》今池编著,中国财
政经济,2006年6月第2版
?
time-value of money货币的时间价值
又译为资金的时间价值。

简称为TVM。

指资金经历一定时期的储蓄存款或投资所产生的
利息或收益,可增加其价值。

反之,如果资金闲置一定时期,由于失去存款或投资机会,
则会减少其价值。

折现现值(discounted present value)的计算,即反映了一项投资
机会成本的丧失。


资金的时间价值概念在现代财务管理的实务中,已得到广泛的应用,这是因为大部分财
务管理决策都必须考虑资金的时间价值,企业现金流量的时间安排是否合理,与财务目
标能否顺利实现密切相关。

因而必须正确理解资金的时间价值概念,才能做好财务管理
工作。


?
present value现在价值
又称现值,或称折现值(discounted value)。

缩写为PV。

现值概念与资金的时间价值
(time value of money)概念两者是密切相关的。

所谓资金的时间价值,是指现时收
入一元钱,比在未来任何时间的一元钱更为值钱。

因而有以下两个不同的货币时间价值:
未来值和现值。

现值是指将未来的现金价值,折算为现在的现金价值。

折算为现值的过
程称为现值计算或折现(discounting)。

例如,假设市场利率为10%,现在的1000美
元,明年将成为1100美元。

反过来,明年的1100美元的现值即为1000美元。


?
future value将来价值
又称未来值,终值(terminal value),复利终值(compound value)。

缩写为FV。


值和现值相反,终值是在已知投资金额即现值(present value)、利率和时期的情况下,
计算一项投资的复利终值。


?
discount rate ①贴现率 ②折现率
①贴现率 指商业银行和贴现公司贴现票据所使用的利率,其高低决定于兑现日期的长
短和风险的大小。


②折现率 或指将未来收益改变为现值所使用的市场利率或资本成本率(cost of
capital)。


?
cash flow ①现金流 ②现金流量
①现金流(cash flow):指投资者预期从某项特定资产上所能获得的一系列现金。


②现金流量(cash flow):指表明一个企业或者一项投资在一定时期现金流入和流出,用
以表明企业获得现金和现金等价物的能力的一种会计报表。

又称之为cash flow table。


?
simple interest单利
仅根据贷款的本金计算利息。

即在资金借贷期间,每个会计期的利息均按本金计算,未
付利息不再计息。

在贷款期限较短的情况下,通常使用单利计算。


单利的利息金额是以下三个变量的函数:(1)借贷的原始金额或本金;(2)利率;(3)
本金借贷期限的长短。



PV
表示本金,
n
表示计息期数,
i
表示利率,
FV
表示第
n
期期末的本利和,单利
的计算公式为:
单利?PV?n?i

采用单利方法计算的资金的将来价值(到期日的本利和)公式为:
FV?PV(1?ni)

式中,
?
compound interest复利
根据本金加以前未支付的利息所计算的利息。

即将到期利息转入本金。


PV
表示本金,
n
表示计息期数,
i
表示利率,
FV
表示第
n
期期末的本利和,复利的计算公式如下:
复利?PV[(1?i)
n
?1]


采用复利方法计算的资金的将来价值(到期日的本利和)公式为:
FV?PV(1?i)

符号含义同上。


?
gilt-edged securities 金边债券
①在英国指由财政部发行的可在证券交易所自由买卖的政府债券(但不包括国库券)。


由于这种债券的券面带有金黄边,并被认为信誉最高,风险最小,因此被称为金边债券。


②在美国,泛指任何信誉良好,风险很低的高质量债券,如国库票据(treasury notes),
国库债券(treasury bond)以及AAA级公司债券等。


?
riskless rate of return 无风险投资收益率
指政府证券组合投资的收益率。

由于不存在风险,其收益率低于证券市场的投资收益率。


任何企业投资项目的期望收益率,均必须高于无风险投资收益率,才是可行的。


?
discounted cash flow method现金流折现法
又称折现现金流量法、折现值法(discounted value method)。

简称为DCF method。


是评价投资决策和计算投资收益率的一种方法。

任何一个投资项目均须计算在其使用年
限中预期产生的收益,并按市场利率或资本成本率折算为现值,然后与投资项目的期初
投资进行比较。

如果已折合为现值的现金流大于期初投资,则说明这项投资是合算的。


常见的DCF法有:
①净现值法(net present value method),简称为NPV method。


②部收益率法(internal rate of return method),简称为IRR method。



二.复利计算方法(compounding)
1. 复利计算方法与单利计算方法的比较


2. 将来价值的一般公式


3. 现在价值的一般公式


复利计算方法是把现在价值(present value)换算成将来价值(future value)的方法。


例题
:假定你现在做一笔1000元的投资,每年获得10%的投资回报。

如果你期间不撤
回投资,也不分配盈利。

5年以后你所持有的这一笔资产将会是多少元?
n
解题

FV?1000?(1?10%)
5
?1610.51


:5年以后这笔投资价值1610.51元。



练习题:
1万元的定期存款,如果年存款利息为1%的话,按单利计息可以获得多少利息? 按
复利计息又可以获得多少利息?

将来价值的一般公式:
FV?PV(1?i)

在这里,
FV
代表将来价值,
PV
代表现在价值,
i
代表折现率,
n
代表投资期间的年
数。


在这里又可以把
(1?i)
称作将来价值系数(future-value factor)。


n
n
练习题:
某企业家在2000年年初投资100万元于一家大学生创业公司。

这笔投资所获得的
协议回报率为每年20% 。

该企业家又将每年所获得的回报继续投资于该创业公司,直到2005
年年初。

问此时该企业家投资于这家大学生创业公司的总资产价值应该是多少万元?

例题
:假定我1年以后需要1000元,而现在我可以实现的投资回报是年率10%。

我现在需
要投资多少元?
解题:
?PV?(1?10%)
1
?1000
(元)

?PV?
1000
?909.09
(元)
1.1
答:
现在需要投资909.09元。


例题:
假定我5年以后需要1000元,其它条件不变。

我现在需要投资多少元?
解题:
?PV?(1?0.1)
5
?1000
(元)


?PV?

??620.9213
(元)
5
1.
(1?0.1)
答:
我现在需要投资620.92元。



由将来价值的公式我们可以得出现在价值的一般公式:
现在价值的一般公式:
PV?
FV

n
(1?i)
这里的符号含义与将来价值的计算公式相同。



练习题:
3年后的1万元,在利率为5%的情况下,现在值多少钱?

三.项目分析(project analysis)
我们把针对一个或几个投资项目所可能产生或已经产生的投资收益和风险度所进行的
分析叫做项目分析。


例题
:某投资经理人有A,B两个投资计划可供选择。

A,B两个投资计划在未来4年中
所产生的收益如下表所示。

问在贴现率为10%的情况下,该投资经理人会选择哪个项目?在
贴现率为5%的情况下又会选择哪个项目?
投资回报现金流
单位:万元人民币
时间
第1年
第2年
A项目的现金流量
500
600
B项目的现金流量
1050
600
第3年
第4年
合计
700
800
2600
500
400
2550

项目分析的方法是把投资项目在各期产生的现金流折算成现在价值,然后加总,进行对
比。


各期的现金流分别进行折现的公式为:
PV
t
?
CF
t

(1?r)
t
将各期的现金流的现在价值进行加总的公式为:
PV?
?
t?1
n
CF
t

t
(1?r)

四.现在价值对利率的敏感性
当利率发生变化时,现金流的现在价值也随之发生变化。

而且利率与现在价值呈现出一
种负相关关系,亦即当利率由大变小时,现在价值由小变大;当利率由小变大时,现在价值
由大变小。



五.净现在价值(net present value, NPV)法
在项目分析时,可以把投资项目在将来各个期间所产生的现金流的现在价值的总和减去
初始投资额(original investment),就得到该投资项目的净现在价值。


NPV?PV?OI

即:
NPV?
CF
n
?OI

?
t
t?1
(1?r)
n
或:
NPV?
CF
t

?
t
(1?r)
t?0
n
进一步地,可以计算出项目的预期收益率(expected return)。


ER?
NPV
?100%

OI
在进行项目分析时,如果需要比较分析多个初始投资额不相同的投资项目时,可以依据
预期收益率指标判定各个投资项目的优劣。



练习题:
投资人甲以50万元的投资获得某股份1万股的股权。

投资后的第1年将分得
3万元的红利,第二年将分得5万元的红利,第3年将分得6万元的红利,第4年将分得8
万元的红利并协议由该股份以每股56元的价格赎回全部1万股的股权。

如果贴现率为5%的
话,问整个投资项目的预期投资收益率为多少?

六.年金(annuity)的现在价值
年金满足如下的条件:
(1) 现金流等量,等间隔分布在各个时点上;
(2) 贴现率(或利率)均相同。


则年金的现在价值为:
1?
PV?CF
1
1?(1?r)
?n
(1?r)
n
?CF

rr
例题:
某企业为特定的大学入学新生提供的一项助学计划规定,每年为每个符合条件的
学生提供6000元的资助款,为期4年。

问在贴现率为5%的情况下这项助学计划的现在价值
为多少?
1?(1?5%)
?4
??

题解:
PV?6000?
5%
练习题:
某上市公司宣布今后5年该公司的股票每股增加10元的红利分配。

在市场基
准利率为3%的情况下,这项消息公布应该会给股票带来多少的升值?
1?(1?3%)
?5
??

题解:
PV?10?
3%

七.收益同比增长模型
收益同比增长模型满足如下条件:
(1) 每一期的收益都比上一期增长
g

(2) 增长率
g
要小于利率
r

(3) 可以无限期地获得收益。


这时投资的现在价值为:
PV?
CF
1

r?g
例题:
某上市公司的股票现在每股分红0.1元,且每股的分红将以每年增加1%的速度
递增下去,如果市场的基准利率也保持5%不发生变化的话,问此时该股票的价格为多少?
题解:
PV?

0.1
?2.5
(元)
5%?1%
特别地,当
g?0
时,则:
PV?
CF

r
例题:
如果某项地产将一直给其所有者带来每年5000元的收益,而市场的基准利率也
保持5%不发生变化的话。

问这项地产的价格应该为多少?
题解:
PV?
CF5000
??100,000
(元)

r5%

八.部收益率(internal rate of return, IRR)
部收益率也是进行项目分析的一种方法,也叫IRR法。

是用现值法对某个投资项目的财
务和经济效益进行评估时所使用的一个重要指标。

具体指当投资项目在其寿命期的收入现值
总额,等于其支出现值总额,即净现值为零时的收益率。


部收益率反映项目在整个寿命期的平均盈利能力,即动态投资收益率。


IRR的计算方法为:
n
CF
t
CF
t
?0NPV??CF
0
?0
,求出IRR即可。


NPV?
?
,或
?
tt
(1?IRR)(1?IRR)
t?0t?1
n
当各期的
CF
都相等时,适用年金的计算公式,即:
1?(1?IRR)
?n
?CF
0
?0
,求IRR。


NPV?CF
IRR
例题:
投资人甲以50万元的投资获得某股份1万股的股权。

投资后的第1年将分得3
万元的红利,第二年将分得5万元的红利,第3年将分得6万元的红利,第4年将分得8
万元的红利并协议由该股份以每股56元的价格赎回全部1万股的股权。

问该项投资的部收
益率为多少?

九.税收对收益率的影响
在项目分析时必须注意到影响投资者判断的实际上是税后收益率,因此在进行项目评价
时在计算收益率或IRR时,必须考虑到税收的影响。

由于各国的税制千差万别,且一国的税
制也处于变化之中,因此,一般在金融工程学的教科书中不过多涉及税制的问题。



十.实际收益率和名义收益率
设实际年利率(effective annual rate)为
ER
,名义利率(normal rate)为
NR
,年复
式计息的次数为
m
,则实际利率与名义利率的关系可以用下面的公式表示。


ER?(1?
NR
m
)?1

m

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发布时间:2021-04-09 12:31:45
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作者: admin

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17条评论

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  2. 令NPV?CFIRR例题:投资人甲以50万元的投资获得某股份1万股的股权

  3. 其收益率低于证券市场的投资收益率

  4. 则实际利率与名义利率的关系可以用下面的公式表示

  5. 问整个投资项目的预期投资收益率为多少? 六.年金(annuity)的现在价值 年金满足如下的条件: (1) 现金流等量

  6. 而市场的基准利率也保持5%不发生变化的话

  7. 复利的计算公式如下:复利?PV[(1?i)n?1]

  8. 其高低决定于兑现日期的长短和风险的大小

  9. 然后与投资项目的期初投资进行比较

  10. 亦即当利率由大变小时

  11. IRR) 部收益率也是进行项目分析的一种方法

  12. 具体指当投资项目在其寿命期的收入现值总额

  13. 问此时该企业家投资于这家大学生创业公司的总资产价值应该是多少万元? 例题:假定我1年以后需要1000元